By Garrett Birkhoff

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Also war die Annahme falsch, damit gibt es unendlich viele Primzahlen. Bemerkungen 1. Euklid formulierte obigen Satz in der Form: Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen. Er vermied so den schwierigen Begriff des Unendlichen. 2. 3 ist, dass er genial einfach ist und zugleich exemplarisch die Stärken mathematischer Argumentation aufzeigt. Selbst im gegenwärtigen Computerzeitalter können wir nämlich diesen Satz durch noch so systematisches Ausprobieren mit den leistungsstärksten Computern nicht beweisen.

Im Zusammenhang mit der Summenregel haben wir gesehen, dass eine entsprechende Aussage für die Addition nicht gilt. 2. 6. 3. b d /. 7 stets N durch Z, so haben wir hiermit diesen Satz für alle ganzen Zahlen bewiesen. Die Teilbarkeits- bzw. r b C s c/. r b C s c/. 8 für ganze Zahlen bewiesen. 4 Division mit Rest Bislang haben wir uns gründlich mit der Teilbarkeits- und Vielfachenrelation beschäftigt. Hierbei gilt a j b, also a ist Teiler von b bzw. b ist ein Vielfaches von a, genau dann, wenn es ein n 2 N gibt mit n a D b.

Für eine praktikable Definition ist der letztgenannte Gesichtspunkt am besten zu gebrauchen. 1 (Primzahl) Natürliche Zahlen, die genau zwei Teiler besitzen, nennen wir Primzahlen. Bemerkung Dagegen ist eine in Schulbüchern häufiger anzutreffende Definition von Primzahlen als Zahlen, die nur Eins und sich selbst als Teiler haben, ungünstig, da hiernach auch die Eins eine Primzahl wäre. Aus Zweckmäßigkeitsgründen rechnet man jedoch die Eins nicht zu den Primzahlen. Andernfalls würden nämlich alle natürlichen Zahlen viele verschiedene Primfaktorzerlegungen besitzen (vgl.

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by John
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