By Gisbert Wüstholz

ISBN-10: 3834819611

ISBN-13: 9783834819611

ISBN-10: 3834886785

ISBN-13: 9783834886781

Dieses Buch ist eine moderne Einführung in die Algebra, kompakt geschrieben und mit einem systematischen Aufbau. Der textual content kann für eine ein- bis zweisemestrige Vorlesung benutzt werden und deckt alle Themen ab, die für eine breite Algebra Ausbildung notwendig sind (Gruppentheorie, Ringtheorie, Körpertheorie) mit den klassischen Fragen (Quadratur des Kreises, Auflösung durch Radikale, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal) bis zur Darstellungstheorie von endlichen Gruppen und einer Einführung in Algebren und Moduln. Der textual content wurde für die 2. Auflage vollständig durchgesehen und an vielen Stellen verbessert.

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Gilt U Z/4Z? 2 11. Zeige, dass in einer Gruppe für g ∈ G, m, n ∈ Z gilt: g m ◦ g n = g (m+n) , (g m )n = g mn . 12. Gibt es eine Gruppe, die Vereinigung zweier echter Untergruppen ist? 13. Es seien Hi , i ∈ I, Untergruppen von G mit der Eigenschaft, dass für alle i, j ∈ I ein k ∈ I existiert mit Hi ∪ Hj ⊆ Hk . Zeige, dass dann H C i∈I Hi eine Untergruppe von G ist. 14. Es seien p, q Primzahlen. Bestimme alle Homomorphismen von Z/pZ nach Z/qZ. Gib auch die Homomorphismen von Z/2Z nach Z/4Z an. 15.

Hieraus ✷ ergibt sich dann Gm = Gm , d. h. (ii). Wählt man eine Menge S ⊂ M mit Gs = Gs für s = s in S, die maximal mit dieser Eigenschaft ist, so gilt M = Gs s∈S und die Vereinigung ist disjunkt. Man nennt die Menge S ein System von Repräsentanten. Auf diese Weise erhält man eine disjunkte Zerlegung von M in Nebenklassen unter der Aktion von G. Die Menge der Nebenklassen bezeichnet man üblicherweise mit M/G, obwohl bei einer Aktion von links die Bezeichnung G\M die richtigere wäre. 32 Es sei S 1 = {z ∈ C; |z| = 1} ⊂ C der Einheitskreis in der komplexen Ebene.

Die Zahl ne ist dann gleich dem größten gemeinsamen Teiler (m, n) von n und m. In der Tat, ist d ein Teiler von (m, n), so teilt d sowohl n als auch m und dann induktiv alle mi , ni , d. h. schließlich ne . Ist umgekehrt d ein Teiler von ne , so teilt d rekursiv alle mi , ni und damit auch (m, n). Ebenfalls rekursiv gewinnt man aus dem Algorithmus ganze Zahlen k, l derart, dass (n, m) = k m + l n gilt. Sind insbesondere die Zahlen n und m teilerfremd, so gibt es eine Darstellung 1 = km + ln, woraus man sofort schließt, dass k das multiplikative Inverse von m modulo n, d.

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Algebra: Für Studierende der Mathematik, Physik, Informatik by Gisbert Wüstholz


by Richard
4.3

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