By Jörg Bewersdorff

ISBN-10: 3834807761

ISBN-13: 9783834807762

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach quick dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann quickly unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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Für sie gibt er die Gleichung x 5 − 15 x 4 + 85 x 3 − 225 x 2 + 274 x − 120 = 0 an23. Einzig die offenkundig auszumachende Symmetrie verhindert, dass man bei Viètes Formeln jeglichen Überblick verliert. Zwar ist eine Nachprüfung des Vieta’schen Wurzelsatzes, wie die aufgelisteten Gesetzmäßigkeiten auch genannt werden (der Begriff Wurzel wird häufig als Synonym für Lösung gebraucht), durch simples Einsetzen der vorgegebenen Lösungen möglich. Viel interessanter aber ist die Frage, wie man solche Aussagen – auch für mehr als fünf vorgegebene Lösungen – erhält.

Da es gar nicht so einfach ist, die gerade erläuterte, plausibel erscheinende Argumentation wirklich „wasserdicht“ zu machen, werden wir bei der angekündigten Präsentation eines exakten Beweises einen Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften 37 ganz anderen Weg beschreiten, der erstmals 1815 von Jean Robert Argand (1768-1822) beschritten wurde und wenige Jahre später von Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) vereinfacht wurde. Wir haben bereits gesehen, dass die Funktionswerte f (z) des Polynoms außerhalb eines genügend großen Kreises betragsmäßig den Wert | f (0)| = |a0| übersteigen.

Das heißt, das untersuchte Polynom – und entsprechend jedes andere Polynom mit ungeradem Grad – hat mindestens eine Nullstelle. Was so einfach und selbstverständlich aussieht, ist in der Infinitesimalrechnung Gegenstand sehr grundlegender Überlegungen, die im so genannten Zwischenwertsatz ihre Zusammenfassung finden. Dabei sind zwei Eigenschaften der beteiligten Objekte entscheidend: • Zum einen ist die durch das Polynom definierte Funktion stetig, besitzt also keine Sprungstelle, sondern verändert ihren Wert überall weniger als jede vorgegebene Obergrenze, sofern die Änderung des Arguments x entsprechend eingegrenzt wird.

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Algebra fur Einsteiger: Von der Gleichungsauflosung zur Galois-Theorie by Jörg Bewersdorff


by Thomas
4.0

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